Question

如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；② ；③AC·BE＝12；④3BF＝4AC．其中正确结论的个数有（    ）

A．1个           B．2个           C．3个          D．4个

Answer

C．

【解析】

试题分析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；

②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4；

③根据相似三角形的判定定理得出△BED∽△BDA，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．

试题解析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC．故本选项正确；

②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，故不一定正确；

③由①知∠AED=∠ADC，∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，

∴BE：BD=DC：AC，∴AC•BE=BD•DC=12．故本选项正确；

④连接DM，则DM=MA．

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．故本选项正确．

综上所述，①③④正确，共有3个．

故选C．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质．