Question

（本题满分12分）如图，已知l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l₁，l₂重合，AB=cm，AD=2cm，若⊙O与矩形ABCD沿l₁同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，矩形ABCD的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）.

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为       °；

（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O₁的位置，矩形ABCD到达A₁B₁C₁D₁的位置，此时点O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO₁的长）；

（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜1时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

Answer

（1）105°；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；

（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣1=t﹣1，求出t的值，进而得出OO1=2t得出答案即可；

（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．

试题解析：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，

∵AB=cm，AD=4cm，∴CD=cm，AD=4cm，∴tan∠DAC=，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，

故答案为：105；

（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，

连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，

在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，

在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E=，

∵A1E=AA1﹣OO1﹣1=t﹣1，∴t﹣1=，∴t=，∴OO1=2t=；

（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，

∴， ∴t1=1﹣，

②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，，解得：，

∵d＜1时，对角线AC所在直线与⊙O相交，∴t的取值范围是：．

考点：圆的综合题．