Question

（本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．

（1）求S与t的函数关系式；

（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；

（3）当点G关于直线EF的对称点G′ 恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．

Answer

（1）S=；（2）或或或；（3），，，．

【解析】

试题分析：（1）分为MN在CA的左下方（0＜t ＜3）和右上方（3＜t ＜6）两种情况；分别把EF表示出来，并把△EFG的高表示出来即可；

（2）当0＜t ＜3时，把△EFG三边的平方表示出来，△EFG是直角三角形有三种可能，列出三个方程，分别解出即可；同样当3＜t ＜6时，把△EFG三边的平方表示出来，△EFG是直角三角形也有三种可能；

（3）GG’所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为，分别求出直线GG’与直线CB、BA、OA、OC的交点G’，由线段GG’的中点在直线MN上即可得到四种情况的答案．

试题解析：

（1）①当0＜t ＜3时，如图，过E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），∴OA=4，OC=3，AC=5，

∵MN∥CA，∴△OEF∽△OCA，∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，∴EF=，

∵EH⊥CA，∴∠ECH=∠OCA．∴sin∠ECH=sin∠OCA，∴EG：EC=OA：CA，即EH：（3－t）=4：5，∴EH=，

∴S=；

②当3＜t ＜6时，如图，过C作CH⊥MN于H，

MC=，∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA．∴sin∠CMH=sin∠OCA，

∴CH：MC=OA：CA，即CH：（）=4：5，∴EH=，

易求直线AC的解析式为：，∵MN∥CA，∴，令y=3，∴，解得：，∴E（），在中，令，得：，∴F()，

∴EF=，

∴S=；

∴S=；

（2）①当0＜t ＜3时，E(0，t)，F(，0)，G（2，），

∴，，，

若，则：，解得：t=0(舍去)，t=（舍去），

若，则：，解得：t=0(舍去)，t=，

若，则：，解得：，

②当3＜t ＜6时， E（），F()，G（2，），

∴，，，

若，则：，整理得：，△=441，解得：，t=6(舍去)

若，则：，整理得：，△=49，解得t=6(舍去)，t=（舍去），

若，则：，解得：，

∴或或或；

（3）直线MN为，G（2，），

GG’所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为，在中，

令，得：，∴G’（0，），GG’的中点（1，），代入直线MN为，得：，

令，得：，∴G’（，0），GG’的中点（，），代入直线MN为，得：，

令，得：，∴G’（4，），GG’的中点（3，），代入直线MN为，得：，

令，得：，∴G’（ ，3），GG’的中点（，），代入直线MN为，得：，

∴，，，．

考点：1．四边形综合题；2．直角三角形的性质．