Question

如图，在⊙O的内接△ABC中，AD⊥BC于D，

（1）①若作直径AP，求证：AB·AC＝AD·AP；

②已知AB＋AC＝12，AD＝3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．求y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围；

（2）图2中，点E为⊙O上一点，且，求证：CE＋CD＝BD.

Answer

（1） ①证明见解析；②y=-x2+2x，3＜x＜12；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接BP，求出△ADC∽△ABP，得出比例式，即可求出答案；

（2）根据AB•AC=AP•AD，代入求出即可；

（3）连接AE，BE，在BD上截取DF=DC，连接AF，求出AB=AE，AF=AC，∠1=∠6，证△ABF≌△AEC，推出BF=CE即可．

试题解析：（1）证明：连接BP，

∵AP是直径，

∴∠ABP=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°=∠ABP，

∵∠C=∠P，

∴∠ADC∽△ABP，

∴，

∴AB•AC=AD•AP；

（2）【解析】
∵AB+AC=12，AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x，

∴AP=2y，AC=12-x，

∵AB•AC=AD•AP，

∴x•（12-x）=2y•3，

∴y=-x2+2x

∵AB+AC=12，AB是三角形边长，

∴x＞3，x＜12，

即x的取值范围是：3＜x＜12；

（3）【解析】
连接AE，BE，在BD上截取DF=DC，连接AF，

∵弧AB=弧AE，

∴AB=AE，∠ACB=∠2+∠3，

∵DF=DC，AD⊥BC，

∴AF=AC，

∴∠4=∠ACD=∠2+∠3，

∵∠4=∠1+∠2，

∴∠3=∠1，

∵∠6=∠3，

∴∠1=∠6，

在△ABF和△AEC中，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴BF=CE，

∵BD=BF+DF，CD=DF，

∴CE+CD=BD．

考点：圆的综合题．