Question

已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点.

（1）求证：△CDP∽△PAF；

（2）设，，求关于的函数关系式，及自变量的取值范围；

（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）y=-x2+x（0＜x＜3）（3）不存在．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用切线的性质得出∠1+∠2=90°，进而利用矩形的性质求得出∠2=∠3，进而得出△CDP∽△PAF；

（2）利用△CDP∽△PAF，得出，进而得出y与x之间的函数关系；

（3）设△AFP下翻后落在BC边上的点为Q，利用已知首先判定△QPC为等腰三角形，再利用QC=QP=AP=3-x，利用勾股定理求出关于x的一元二次方程进而得出答案．

试题解析：（1）证明：∵过P作⊙C的切线交线段AB于F点，

∴CP⊥FP，

∴∠1+∠2=90°，

∵在矩形ABCD中，

∴∠D=∠A=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△CDP∽△PAF；

（2）【解析】
∵△CDP∽△PAF，

∴，

∵DP=x，AF=y，

∴，

∴y=-x2+x（0＜x＜3）

（3）证明：设△AFP下翻后落在BC边上的点为Q，

∵△AFP≌△QFP，

∴QF=AF=y，∠QPF=∠APF．

由PF是圆的切线可知：∠QPF+∠DPC=90°，∠QPF+∠QPC=90°．

∴∠QPC=∠DPC．

又∵∠DPC=∠PCQ，

∴△QPC为等腰三角形，

∴QC=QP=AP=3-x，则BQ=x．

在△FBQ中，FB=2-y，BQ=x，FQ=y

x2+（2-y）2=y2整理得：x2-4y+4=0，

由y=-x2+x得3x2-6x+4=0 因为（-6）2-4×3×4＜0，

所以此方程无实根，

所以这样的点就不存在．

考点：圆的综合题．