Question

（12分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M。

（1）求证：△ADC≌△AEB ,

（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；

（3）猜想线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。

Answer

（1）详见解析；（2）△EGM是等腰三角形，证明详见解析；（3）BG=AF+FG；证明详见解析

【解析】

试题分析：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，

在△ADC和△AEB中

∴△ADC≌△AEB（SAS），

（2）△EGM为等腰三角形；

理由：∵△ADC≌△AEB，

∴∠1=∠3，

∵∠BAC=90°，

∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠4+∠3=90°

∵FG⊥CD，

∴∠CMF+∠4=90°，

∴∠3=∠CMF，

∴∠GEM=∠GME，

∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．

（3）线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG．

理由：如图所示：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，

∵BN⊥AB，∠ABC=45°，

∴∠FBN=45°=∠FBA．

∵FG⊥CD，

∴∠BFN=∠CFM=90°﹣∠DCB，

∵AF⊥BE，

∴∠BFA=90°﹣∠EBC，∠5+∠2=90°，

由（1）可得∠DCB=∠EBC，

∴∠BFN=∠BFA，

在△BFN和△BFA中

∴△BFN≌△BFA（ASA），

∴NF=AF，∠N=∠5，

又∵∠GBN+∠2=90°，

∴∠GBN=∠5=∠N，

∴BG=NG，

又∵NG=NF+FG，

∴BG=AF+FG．

考点：特殊三角形的综合运用