Question

（本题满分12分）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．

Answer

（1）；（2）40°．

【解析】

试题分析：（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．

试题解析：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，

则AE=AC=，

∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=，

在Rt△AOE中，，即，解得；

（2）连接BC，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，

根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，

∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．

考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理；4．翻折变换（折叠问题）．