Question

（本题满分12分）已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．

（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．

（2）若AP不过圆心O，如图②，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．

Answer

（1）△PDC为等边三角形，理由见试题解析；（2）△PDC为等边三角形，理由见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）通过证△BCD≌△ACP，可得∠APC=∠D=60°；根据圆内接四边形的外角等于它的内对角可得∠DPC=∠BAC=60°，由此可得到△PDC是等边三角形的结论．

（2）由（1）的解题思路知：△PDC的形状与AP是否为直径无关，故结论与（1）相同．

试题解析：（1）△PDC是等边三角形．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC；

又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，∴△BCD≌△ACP；∴∠APC=∠D=60°；

∵四边形ABPC内接于⊙O，∴∠DPC=∠BAC=60°；∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；∴△PDC是等边三角形；

（2）【解析】
△PDC是等边三角形，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC；

又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，∴△BCD≌△ACP；∴∠APC=∠D=60°；

∵四边形ABPC内接于⊙O，∴∠DPC=∠BAC=60°；∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；∴△PDC是等边三角形．

考点：1．圆周角定理；2．等边三角形的判定；3．圆内接四边形的性质．