Question

已知关于x的一元二次方程．

（1）试说明无论取何值时，这个方程一定有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根 ，求△ABC的周长.

Answer

（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

试题分析：（1）根据方程表示出根的判别式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质确定出根的判别式大于等于0，且为完全平方式，即可得证；

（2）分a为腰与a为底两种情况，求出方程的解确定出b与c，即可求出周长．

试题解析：（1）方程x2-（k+2）x+2k=0，

∵△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，

∴无论k取何值时，这个方程总有实数根，并且有有理根；

（2）若a=1是腰，则x=1为已知方程的解，

将x=1代入方程得：k=1，即方程为x2-3x+2=0，

解得：x=1或x=2，

此时三角形三边为1，1，2，不合题意，舍去；

若a=1是底时，b=c为腰，即k=2，方程为x2-4x+4=0，

解得：x1=x2=2，

此时b=c=2，即三角形三边长为1，2，2，周长为1+2+2=5．

考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系；3.等腰三角形的性质．