Question

如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC=12cm，BD=16cm。动点P在线段AB上，由B向A运动，速度为1cm/s，动点Q在线段OD上，由D向O运动，速度为1cm/s。过点Q作直线EF┴BD交AD于E，交CD于F，连接PF，设运动时间为t（0<t<8）。问

（1）何时四边形APFD为平行四边形？求出相应t的值；

（2）设四边形APFE面积为ycm²，求y与t的函数关系式；.

（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APFE}:S_菱形ABCD=17:40？若存在，求出相应t的值，并求出，P、E两点间的距离，若不存在，说明理由。

Answer

（1） t=s时，四边形APFD是平行四边形．（2）y=-t2+t+48．（3） t=4, PE=cm．

【解析】

试题分析：（1））由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出．求出DF．由AP=DF．求出t．

（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=（AP+DF）•CG．S△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB=．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴．

即，

∴DF=．

∵四边形APFD是平行四边形，

∴AP=DF．

即10-t=，

解这个方程，得t=．

∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=．

∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10-t+t）•

=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴．

即，

∴QF=t．

同理，EQ=t．

∴EF=QF+EQ=t．

∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．

∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．

（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，

则-t2+t+48=×96，

即5t2-8t-48=0，

解这个方程，得t1=4，t2=-（舍去）

过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

当t=4时，

∵△PBN∽△ABO，

∴，

即．

∴PN=，BN=．

∴EM=EQ-MQ=3-=．

PM=BD-BN-DQ=16--4=．

在Rt△PME中，

PE=（cm）．

考点：四边形综合题．