Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（，0）．将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形．设直线与轴交于点M、与轴交于点N，抛物线的图象经过点C、M、N．解答下列问题：

（1）分别求出直线和抛物线所表示的函数解析式；

（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由．

（3）将直线MN向上平移，使它与抛物线只有一个交点，求此时直线的解析式．

（4）点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连接P M，P N ，设所得△PMN的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PMN的面积S为整数，则这样的△PBC共有    个．

Answer

【解析】

试题分析：（1）由题意可知B，B′的坐标，可用待定系数法求得一次函数的解析式．由一次函数解析式可得到M，N两点的坐标，代入二次函数即可求得二次函数的解析式；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；

试题解析：（1）由题意得，B（-1，3），B′（3，1），

∴直线BB′的解析式为y=-x+，

直线BB′与x轴的交点为M（5，0），与y轴的交点N（0，），

设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），

∵抛物线过点N，

∴=a×（-5）×1，

∴a=-，

∴抛物线的解析式为y=-（x-5）（x+1）=-x2+2x+；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，OP交NM于E，

∵O、P关于直线MN对称，

∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，

∵N（0，），M（5，0），

∴MN=，OE=，

∴OP=2OE=2，

∴OP=①，

PM==5②，

①②联立，解得

，

把x=2代入二次函数的解析式y=-x2+2x+得，y=，

∴点P不在此二次函数的图象上；

（3）直线MN即直线B的解析式为,

将直线MN向上平移后的解析式为:,

当时，由△=0得b=

∴直线的解析式为y=—x+

（4）①分P在MN上方和P在MN下方

P（x，）

P在MN上方时，

∴

P在MN下方时，

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