Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为（0，），直线CD的函数解析式为y=－x＋5．

（1）求点D的坐标和BC的长；

（2）求点C的坐标和⊙M的半径；

（3）求证：CD是⊙M的切线．

Answer

（1）D（5，0）；2．（2）2; （3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）因为点M的坐标为（0，），直线CD的函数解析式为y=-x+5，D在x轴上，可求出OM=，D（5，0），又因过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，利用垂径定理可得OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，利用三角形的中位线可得OM=BC，BC=2；

（2）因为BC=2，所以可设C（x，2），利用直线CD的函数解析式为y=-x+5．可得到y=-x+5=2，即求出C（3，2），利用勾股定理可得AC==4，即⊙M的半径为2；

（3）求出BD=5-3=2，BC=2，CD==4，AC=4，AD=8，CD=4，，可得△ACD∽△CBD，所以∠CBD=∠ACD=90°，CD是⊙M的切线．

试题解析：（1）【解析】
∵点M的坐标为（0，），直线CD的函数解析式为y=-x+5，D在x轴上，

∴OM=，D（5，0）；

∵过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，

∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，

∴OM=BC，

∴BC=2．

（2）【解析】
∵BC=2，

∴设C（x，2）；

∵直线CD的函数解析式为y=-x+5，

∴y=-x+5=2，

∴x=3，即C（3，2），

∵CB⊥x轴，OB=3，

∴AO=3，AB=6，AC==4，

即⊙M的半径为2．

（3）证明：∵BD=5-3=2，BC=2，CD==4，

AC=4，AD=8，CD=4，

∴，

∴△ACD∽△CBD，

∴∠CBD=∠ACD=90°；

∵AC是直径，

∴CD是⊙M的切线．

考点：一次函数综合题．