Question

已知：二次函数（m为常数）．

（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．

①求m的值；

②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；

（2）当0≤≤2时，求函数的最小值（用含m的代数式表示）．

Answer

（1）m=4; y=x2-2x-2．（2）当m＜0时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为m+1；当0≤m≤4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-+m+1；当m＞4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-m+5．

【解析】

试题分析：（1）①根据二次函数x2-mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；

②由①得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；

（2）分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时；（ⅲ）当＞2，即m＞4时；讨论可求函数y=x2-mx+m+1的最小值．

试题解析：（1）①∵二次函数y=x2-mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，

∴△=m2-4×1×（m+1）=0．

整理，得m2-3m-4=0，

解得m1=4，m2=-1，

又∵点A在x轴的正半轴上，

∴m=4.

②由①得点A的坐标为（2，0）．

∵四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，

∴点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2）．

设平移后的图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c（b，c为常数）．

∴，

解得

∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x2-2x-2．

（2）函数y=x2-mx+m+1的图象是顶点为（，-+m+1），且开口向上的抛物线．分三种情况：

（ⅰ）当＜0，即m＜0时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为m+1；

（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时，函数的最小值为-+m+1；

（ⅲ）当＞2，即m＞4时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为-m+5．

综上所述，当m＜0时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为m+1；当0≤m≤4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-+m+1；当m＞4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-m+5．

考点：二次函数综合题.