Question

如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作交AP于E点．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）10.

【解析】

试题分析：（1）连接OD若要证明DE为⊙O的切线，只要证明∠DOE=90°即可；

（2）过点O作OF⊥AP于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可．

试题解析：连接OD．

∵OC=OD，

∴∠1=∠3．

∵CD平分∠PCO，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∵DE⊥AP，

∴∠2+∠EDC=90°．

∴∠3+∠EDC=90°．

即∠ODE=90°．

∴OD⊥DE．

∴DE为⊙O的切线．

（2）过点O作OF⊥AP于F．

由垂径定理得，AF=CF．

∵AC=8，

∴AF=4．

∵OD⊥DE，DE⊥AP，

∴四边形ODEF为矩形．

∴OF=DE．

∵DE=3，

∴OF=3．

在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25．

∴OA=5．

∴AB=2OA=10．

考点：1.切线的判定；2.勾股定理；3.垂径定理．