Question

已知抛物线y=Ax ² +Bx+C与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.

（4）若点N的坐标为（3，4），Q为x轴上一点，△ONQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标。（14分）

Answer

（1）抛物线的解析式为 ；（2）当点D的坐标为（0,1）时，直线CD的解析式为y= x+1; 当点D的坐标为（0,2）时，直线CD的解析式为y= x+2.（3）.（4）Q1（5,0）,Q2（-5,0）,Q3（,Q4（6,0）

【解析】

试题分析：（1）根据题意，C=3，

所以

解得

所以抛物线解析式为y=x2﹣x+3．

（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）．

设直线CD的解析式为y=kx+B．

当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y=﹣x+1；

当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=﹣x+2．

（3）如图，由题意，可得M（0，）．

∵点M与点M′关于x轴的对称，

∴点为M′（0，﹣），

∴点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3）．

连接A'M'．

根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长．

∴A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点．

∴可求得直线A'M'的解析式为y=x﹣．

∴可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）．

由勾股定理可求出．

∴点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为．（8分）

（4）Q1（5,0）,Q2（-5,0）,Q3（,Q4（6,0）

考点：二次函数综合