Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）BE=CM，证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，

（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．

试题解析：（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，∵∠CAE=∠BCG，AC=BC，∠ACE=∠CBG，∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG；

（2）BE=CM．证明如下：

∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，∵∠BEC=∠CMA，∠ACM=∠CBE，BC=AC，∴△BCE≌△CAM，∴BE=CM．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．