Question

已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于点P，M.

（1）求证：AB=CD.

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由.

Answer

（1）证明见试题解析；（2）∠MCD=∠F，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由点D与点A关于点E对称易证AC=CD，再根据角平分线，及垂直得到AC=AB，可得答案AB=CD；

（2）易证∠CAD=∠CDA=∠MPC，∠CMA=∠BMA=PMF，可得到∠MCD=∠F．

试题解析：（1）∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，

∵D与A关于E对称，∴E为AD中点，∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB，∴AB=CD．

（2）∠F=∠MCD，理由如下：∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，

∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，

∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE，∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．

∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB．∴∠CME=∠BME，

∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCD=∠F．

考点：1．轴对称的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质．