Question

（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F

（1）求OA、OC的长；

（2）求证：DF为⊙O′的切线；

（3）直线BC上存不存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，如果不存在，说明理由；如果存在，直接写出P点的坐标．

Answer

（1）OC=3， OA=5；（2）证明见试题解析；（3）存在， P1（1，3） P4（9，3） P2（4，3），P3（4，3）．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形面积公式得方程求解；

（2）由E是BC中点，OC=AB，∠C=∠B可证△ABE≌△OCE，则OE=AE得证；

（3）连接O′D，证∠O′DF=90°．

（4）分别以∠AOP、∠OAP为顶角讨论P点位置求解．

试题解析：（1）设OC=x，则OA=x+2，根据题意得：x（x+2）=15．解得x=3，即OC=3．则OA=5．

（2）∵E为BC的中点，∴CE=BE．又OC=AB，∠OCE=∠B=90°，∴△ABE≌△OCE，∴OE=AE．

（3）连接O′D．

∵OE=AE，O′O=O′D，∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．

∵DF⊥AE，∴∠EAO+∠ADF=90°．∴∠O′DO+∠ADF=90°．∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切线；

（4）存在．如图所示．

①当AP=AO时，BP=4，则CP=1或9，所以P（1，3）或（9，3）；

②当OP=OA时，CP=4，所以P（4，3）或（－4，3）．

考点：1．切线的判定；2．矩形的性质．