Question

（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0），B（2，0），AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示．

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积．

（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断△OCD的形状，并加以证明．

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值．

Answer

（1）12；（2）△OCD是直角三角形，理由见试题解析；（3）P为OC与半圆O的交点，．

【解析】

试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．

（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．

（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．

试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，

∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，

∴正方形的面积是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=，

∴点P的关联图形的面积是12．

（2）判断△OCD是直角三角形．

证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．

（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．

理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=为定值，

要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，

∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小，

连接OC，设交半圆O于点P，

∵AC⊥OA，AC=OA，∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC⊥CD，OC=，

∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，则P′H+P′O＞OH＞OC，

∵OC=PC+OP，∴P′H＞PC，∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大．

∵CD=，CP=，

∴△PCD的面积=，

∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积=．

考点：圆的综合题．