Question

（本题满分10分）如图，△ABC中，AB=AC=，cosC=．

（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在你所作的图中，

①求证：；  ②求点D到BC的距离．

Answer

（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②．

【解析】

试题分析：（1）先作出AC的中垂线，再画圆；

（2）边接AE，AE是BC的中垂线，∠DAE=∠CAE，得出；

（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．

试题解析：（1）如图，

（2）如图，连接AE，

∵AC为直径，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，∴∠DAE=∠CAE，∴；

（3）如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，

∵AC为直径，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC=，cosC=，∴EC=BE=4，∴BC=8，

∵点A、D、E、C共圆，∴∠ADE+∠C=180°，

又∵∠ADE+∠BDE=180°，∴∠BDE=∠C，∴△BDE∽△BCA，

∴，即BD•BA=BE•BC，∴BD×=4×8，∴BD=，

∵∠B=∠C，∴cos∠C=cos∠B=，∴，∴BM=，

∴DM==．

考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的应用；3．相似三角形的应用．