Question

（本题满分8分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠ B=60°， CD是⊙ O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）若AC= 3，求PD的长.

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根据切线判定推出即可；

（2）根据∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半径，在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可．

试题解析：（1）连接OA，

∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，

∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，即OA⊥AP，

∵点O在⊙O上，∴AP是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC∙tan30°=，CD=2AD=，∴DO=AO=CD=，

在Rt△PAO中，由勾股定理得：，∴，

∵PD的值为正数，∴PD=．

考点：切线的判定．