Question

如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，①猜想 DE与AB的关系？并加以证明。②若Ｐ是ＡＢ延长线一点，Q为BC一点，其他条件不变，结论成吗？画图并证明

（友情引导：若不知道，你可以动手去量发现结论。若不会，Ｐ是动点，你可以把Ｐ运动到特殊的地方，发现现在可利用什么性质？接下来证明。发现缺少什么？就补什么。若还不会，你能发现有线段相等吗？尝试证明，你会有惊喜。）

Answer

（1）DE=AB.证明见解析；（2）结论不变，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）过P作PF∥BC交AC于F，推出△APF是等边三角形，推出AP=PF=CQ，求出∠FPD=∠Q，根据AAS证△FPD≌△CQD，推出FD=DC，根据等腰三角形性质得出AE=EF，求出DE=FE+DF=AC，代入求出即可．

(2) 作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，易证△APE≌△CQF，可得AE=FC，PE=QF且PE∥QF，所以，四边形PEQF是平行四边形，即DE=EF，等量代换得，DE=AC，根据已知，即可得出DE的长为定值．

试题解析：(1) 过P作PF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠B=∠A=60°，

∵PF∥BC，

∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，

∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，

∴△APF是等边三角形，

∴AP=PF，

∵AP=CQ，

∴PF=CQ，

∵PF∥BC，

∴∠FPD=∠Q，

在△FPD和△CQD中

∴△FPD≌△CQD（AAS），

∴FD=DC，

∵AP=PF，PE⊥AF，

∴AE=EF，

∴DE=FE+DF=CD+AE=AC=AB.

(2) （1）中的结论还成立．理由如下：

如图，作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接EQ，PF．

同（1），推知△APE≌△CQF（AAS），

∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE=EF，

∵EC+CF=EC+AE=AC，

∴DE=AC=AB．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质．