Question

（本题14分）已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM、EM.

（1）若DE＝3，BC＝8，求△DME的周长；

（2）若∠A＝60°，求证：∠DME＝60°；

（3）若BC²＝2DE²，求∠A的度数．

Answer

（1）11；（2）见解析（3）∠A＝45°

【解析】

试题分析：（1）由三角形的高可以得到∠CDB＝∠BEC＝90°，再由直角三角形的斜边上的中点得出DM和EM的长，从而得结果.

（2）由直角三角形的斜边上的中点得出DM和EM的长，从而得DM＝BM，EM＝CM，进而得到∠DME＝60°，

（3）由DM＝EM＝BC，得，得到△DEM，从而求出结果.

试题解析：（1）∵∠CDB＝∠BEC＝90°，点M为BC的中点，

∴DM＝EM＝BC＝4，

又∵DE＝3，

∴△DME的周长＝DM+EM+DE＝11；

（2）∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵DM＝EM＝BC，

∴DM＝BM，EM＝CM，

∴∠DMB＝180°－2∠ABC，∠EMC＝180°－2∠ACB，

∴∠DME＝180°－∠DMB－∠EMC＝2（∠ABC+∠ACB）－180°，

∴∠DME＝60°；

（3）∵DM＝EM＝BC，BC2＝2DE2，

∴DM2＝EM2＝DE2，

∴，

∴∠DME＝90°，

∴∠DMB+∠EMC＝90°，

∵∠DMB＝180°－2∠ABC，∠EMC＝180°－2∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB＝135°，

∴∠A＝45°

考点：三角形的高，直角三角形的斜边上的中点，勾股定理