Question

（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30⁰．在图中作弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数．

Answer

30°或90°．

【解析】

试题分析：分两种情况考虑：D在直径AB的上方或下方，根据题意画出相应的图形，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB为90°，即三角形ABD为直角三角形，又AD及AB的值得到AD等于AB的一半，根据直角三角形中一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角为30°，可得∠ABD=30°，根据直角三角形的两锐角互余可得∠DAB等于60°，由∠BAC=30°，利用∠CAD=∠BAD﹣∠BAC或∠CAD=∠BAD+∠BAC即可求出两种情况下所求角的度数．

试题解析：当D在直径AB的上方时，如图所示：

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形，

又AD=1，AB=2，即AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=60°﹣30°=30°；

当D在直径AB的下方时，如图所示：

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形，

又AD=1，AB=2，即AD=AB，

∴∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°，∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，

综上，∠CAD=30°或90°．

故答案为：30°或90．

考点：1．圆周角定理；2．含30度角的直角三角形．