Question

（本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2） 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.

Answer

【解析】

试题分析：（1）由OD⊥AC ,OD为半径，根据垂径定理，即可得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；

（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．

试题解析：（1）∵OD⊥AC OD为半径，

∴ =.

∴∠CBD=∠ABD。

∴BD平分∠ABC.

（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，

∴∠OBD=∠ODB=30°.

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°.

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°.

∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°.

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∴在Rt△ACB中，BC=AB .

∵OD=AB，

∴BC=OD.

考点：垂径定理, 圆周角定理