Question

已知关于的方程 .

（1）求证：不论为任何实数，此方程总有实数根；

（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式。

Answer

（1）证明见解析；（2）y=x2+4x+3．

【解析】

试题分析：（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；

（2）令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值.

试题解析：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3．

当m≠0时，原方程为一元二次方程．

∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0．

∴此时方程有两个实数根．

综上，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根．

（2）∵令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0

解得x1=-3，x2=-．

∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，

∴m=1．

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．

考点：二次函数综合题．