Question

（14分）如图，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径作⊙P，C是⊙P上一点，过点C的直线与x轴、y轴分别相交于点D、点E，连接AC并延长与y轴相交于点B，点B的坐标为(0，)。

（1）求证：OE=CE；（6分）

（2）请判断直线CD与⊙P位置关系，证明你的结论，并请求出⊙P的半径长。（8分）

Answer

(2) 直线CD是⊙P的切线, r=6

【解析】

试题分析：（1）连接OC，利用已知条件计算出CE和OB的长度，再证明△BCO为直角三角形，利用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明OE=CE；

（2）①直线CD是⊙P的切线，证明PC⊥CD．②设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理得到关于r的方程，求出r即可．

试题解析：

证明：连结OC，

∵ 直线y=x＋2与y轴相交于点E，

∴点E的坐标为(0，2)，

即OE=2。

又∵点B的坐标为(0，4)，

∴OB=4，

∴ BE=OE=2，

又∵OA是⊙P的直径，

∴ ∠ACO=90º，

即OC⊥AB，

∴OE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

（2）直线CD是⊙P的切线．

证明：连结PC、PE，由①可知：OE=CE．

在△POE和△PCE，

∴ △POE≌△PCE，

∴∠POE=∠PCE．

又∵x轴⊥y轴，

∴∠POE=∠PCE=90º，

∴PC⊥CE，

即：PC⊥CD。

又∵直线CD经过半径PC的外端点C，

∴直线CD是⊙P的切线。

∵ 对，

当y=0时，，

即OD=6，

在Rt△DOE中，，

∴ CD=DE+EC=DE+OE=。

设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2+CD2=PD2，

即r2+()2=(6+r)2，

解得r=6，

即⊙P的半径长为6。

考点：勾股定理及逆定理，切线的判定，直角三角形斜边的的中点的性质