Question

（本小题满分9分）如图，抛物线经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上.

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）求证: △ABC是等腰三角形.

（3）动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动.当Q到达点A时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似.

Answer

（1）

（2）见解析

（3）当t=或t=时，相似.

【解析】

试题分析：（1）应用待定系数法求解析式，

（2）根据对称性构造直角三角形解决问题

（3）利用三角形相似求出

试题解析：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入得：

，

解得：，

∴抛物线的函数解析式是.

（2）抛物线的对称轴是，

∵点C（m,）在抛物线对称轴上

∴m=2

∴点C（2,），

∴CA==4, CB==4，

∴CA= CB

∴△ABC是等腰三角形

（3）∵∠A是公共角

当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，

∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t，

∴，

∴t=，

当∠APQ=∠ABC时，，

∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t，

∴，

∴t=，

∴当t=或t=时，相似.

考点：待定系数法，解直角三角形，三角形相似