Question

如图，直线y=3x+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PB最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-x2+2x+3.（2）P（1，2），（3）Q1（1，）Q2（1，-），Q3（1，0），Q4（1，1）.

【解析】

试题分析：（1）由直线y=3x+m交y轴于点B，求出m的值，可得出A的坐标，把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax2+bx+c，即可得出抛物线的解析式，

（2）连接BC，交对称轴一点，此点就是点P，使PA+PB最小，求出直线BC的解析式，再利用对称轴为x=1，即可得出点P的坐标，

（3）利用①当AQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，②当BQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，③当BQ=AQ时，△ABQ是等腰三角形，分别求出点Q的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=3x+m交y轴于点B（0，3），

∴m=3，

∴直线y=3x+3，

∴A（-1，0），

把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得．

∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3.

（2）如图1，连接BC，交对称轴一点，此点就是点P，使PA+PB最小，

∵A，C关于对称轴对称，

∴此时PA+PB最小，

∵B（0，3），C（3，0）

∴直线BC的解析式为：y=-x+3，

∵对称轴为x=1，

∴P（1，2），

（3）存在

①如图2，当AQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，

∵AB=

∴AQ=

∴DQ=±

∴Q1（1，）Q2（1，-）

②如图3，当BQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，

∵OA=1，OQ=1

∴Q3（1，0），

③如图4，当BQ=AQ时，△ABQ是等腰三角形，

设Q（1，t），

∵A（-1，0），B（0，3），

∴（1+1）2+t2=12+（t-3）2，解得t=1，

∴Q4（1，1）

综上的所述：Q1（1，）Q2（1，-），Q3（1，0），Q4（1，1）.

考点：二次函数综合题．