Question

（14分）．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线L与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）令y=0，解x2-2x-3=0，可得AB的坐标；将C的横坐标代入，易得其纵坐标，结合A的坐标，可得BC的方程；（2）设出P点的横坐标，表示出P、E的坐标，可得PE长度的表达式，进而根据x的取值范围可得线段PE长度的最大值．；（3）此类问题一定是要分情况讨论的，本题可以分为4种情况，做题时尽量避免漏掉解.

试题解析：【解析】
（1）令y=0，解得或

∴A（-1，0）B（3，0）；

将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）

则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（

∵P点在E点的上方，PE=（2分）

∴当时，PE的最大值=

（3）存在4个这样的点F，分别是

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4- ，0）．

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

考点：1.求二次函数的解析式及二次函数的应用；2.求一次函数的解析式及一次函数的应用；3.平行四边形的性质.