Question

（12分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式，然后求二次函数的最大值；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．

试题解析：

【解析】
（1）由题意，得：w = （x－20）·y=（x－20）·（）

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答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.

（2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．

答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.

（3）∵，∴抛物线开口向下.

∴当30≤x≤40时，w≥2000．

∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000.

设成本为P（元），由题意，得：

∵，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3600.

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

考点：1.一元二次方程；2.二次函数的应用.