Question

（本题12分）如图，过点A（0，3）的直线l₁与x轴交于点B，tan∠ABO=．过点A的另一直线l₂：y＝－x＋b (t＞0)与x轴交于点Q，点P是射线AB上的一个动点，过P作PH⊥x轴于点H，设PB＝5t．

（1）求直线l₁  的函数解析式；

（2）当点P在线段AB上运动时，设△PHQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）当点P 在射线AB上运动时，是否存在这样的t值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△AOQ相似？若存在，直接写出所有满足条件的t值所对应的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）函数解析式为y=x＋3；（2）①当H在Q、B之间时S=（4－8t）×3t=②当H在O、Q之间时，S=(8t－4) 3t=；（3）t1＝，P1；t2＝－1，P2； t3＝，P3 ；t4＝1，P4（0，3）；t5＝1， P5（8，－3）

【解析】

试题分析：（1）∵A（0，3），且tan∠ABO= ∴B（4，0）

设y=kx+b ，将A（0，3） B（4，0）代入上式得b=3 0=4k＋b

解得k=，b=3

∴ 函数解析式为y=x＋3

（2）由B（4，0）．∴OB＝4，

∵OA＝3， ∴AB＝5．

由题意，得△BHP∽△BOA，

∵OA∶OB∶AB＝3∶4∶5，

∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，

∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．

∴OH＝OB－HB＝4－4t．

由y＝－x＋3与x轴交于点Q， 得Q（4t，0）

①当H在Q、B之间时（如图1）

QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．

S=（4－8t）×3t=

②当H在O、Q之间时（如图2）

QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．

S=(8t－4) 3t=

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△AOQ相似

①当H在Q、B之间

t1＝，P1 或者t2＝－1，P2

②当H在O、Q之间

t3＝．得P3 或者t4＝1，P4（0，3）

③当H在B的右侧

t5＝1， P5（8，－3）

考点:一次函数的综合运用