Question

如图，直角梯形OABC，OC边放在x轴上，OA边放在y轴上，OC=12，BC=8，∠C=60°，点P以1个单位的速度从O点出发沿OC运动，点Q以相同的速度从C点出发，沿CB—BA运动，当一点到达终点时，两点停止运动；

（1）写出B点的坐标；（2分）

（2）写出△OPQ的面积S与时间t之间的函数关系式（3分）

（3）当Q点在BC边上运动时，是否存在t值，使△OPQ为等腰三角形？若有，求出此时的t 值．如果没有，请说明理由（4分）

Answer

（1）（8，）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）过B作BH⊥OC与H，由∠C=60°，得到∠CBH=30°，从而得到HC，HB的长，进一步得到B的坐标；

（2）作QM⊥OC，①当时，△OPQ的面积=OP•QM，只要求出QM即可，②当时，△OPQ的面积=OP•BH，代入即可；

（3）△OPQ为等腰三角形共三种情况：①OP=OQ，②OP=PQ，③OQ=PQ，先把O、P、Q三点的坐标表示出来，用两点间距离公式列方程计算即可．

试题解析：（1）过B作BH⊥OC与H，∵∠C=60°，∴∠CBH=30°；∵BC=8，∴HC=4，BH=，∴OH=OC－HC=12－4=8，∴B（8，）；

（2）①若，作QM⊥OC，在Rt△CQM中，∵∠C=60°，∴∠MQC=30°，∴CM=CQ=，∴QM=，

∴S=OP•QM=；

②若，S=OP•BH=；

∴；

（3）∵O（0，0），P（t，0），Q（，），又∵Q在BC边上，∴，

①若OP=OQ，则，解得：（不合题意，舍去），

②若OP=PQ，则，解得：，（不合题意，舍去），

③若OQ=PQ，则，解得：，（不合题意，舍去），

综上所述，当时，△OPQ为等腰三角形．

考点：1．四边形综合题；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论．