Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA相邻的外角平分线CF于点F。

（1）求证：EO=FO

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据CE平分∠ACB，可得∠BCE=∠ACE，又因为MN∥BC，从而∠BCE =∠FEC=∠ACE,得到EO=CO，同理，FO=CO，等量代换可得EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是平行四边形，当∠ECF=90°时，平行四边形AECF是矩形．

试题解析：（1）根据CE平分∠ACB，可得∠BCE=∠ACE，

又∵MN∥BC，

∴∠BCE =∠FEC=∠ACE,EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是平行四边形，当∠ECF=90°时，平行四边形AECF是矩形，∵EO=FO，点O是AC的中点．

∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF平分∠BCA的外角，CE平分∠BCA

∴∠ACE +∠ACF= ×180°=90°．

即∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

考点：1角平分线的定义；2．矩形的判定；3等三角形的判定