Question

（本题满分8分）.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

（1）求BD的长；

（2）求∠ABE+2∠D的度数．

Answer

（1）10；（2）180º．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，BD，AE，根据OC∥BD，OC为△ABD的中位线，可知：BD=2OC，得BD的长；

（2）连接AE，根据切线长定理知：AB=EB，可得：∠BAE=∠BEA；根据圆周角相等，得：∠D=∠AEB，可将∠ABE+2∠D的值求出；

（3）根据△BGO∽△AGB，可将的值求出．

试题解析：（1）连接OC，并延长BO交AE于点H，

∵AB是小圆的切线，C是切点，

∴OC⊥AB，

∴C是AB的中点．

∵AD是大圆的直径，

∴O是AD的中点．

∴OC是△ABD的中位线．

∴BD=2OC=10．

（2）连接AE，由（1）知C是AB的中点．

同理F是BE的中点．

由切线长定理得BC=BF．

∴BA=BE

∴∠BAE=∠E．

∵∠E=∠D，

∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º．

考点：三角形的中位线，切线长定理，圆周角