Question

已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，

（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图）：

①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；

②证明：AE⊥BF；

（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．

Answer

（1）①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA

②见解析

（2）见解析

【解析】（1）①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论。

（2）根据正方形性质及已知条件由ASA得出△ABE≌△BCF，即可由等量代换得证。

（1）①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA

②证明：如图，延长AE 交BF 于点M，

∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE。

∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）。∴∠CBF＝∠BAE

∵∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°，

∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°。

∴∠AMB＝90°。∴AE⊥BF。

（2）点E 是OB 的中点。证明如下：

∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE。

∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°。∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°。

∴∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°。∴∠CBF＝∠BAE。∴△ABE≌△BCF（ASA）。

∴BE＝CF。

∵BE＝OF，∴CF＝OF。

又∵OB＝OC，∴BE=OE。∴点E是OB 的中点。