Question

我们知道，等腰三角形的两个底角相等，即在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(如图①所示)．请根据上述内容探究下面问题：

(1)如图②，已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，动点D在BC边上运动，试证明CD＝BE且CD⊥BE．

(2)如图③，在(1)的条件下，若动点D在CB的延长线上运动，则CD与BE垂直吗？请在横线上直接写出结论，不必给出证明，答：_______．

(3)如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，动点D在△ABC内运动，试问CD⊥BE还成立吗？若成立，请给出证明过程．

(4)如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝x°(90<x<180)，点D在△ABC内，请在横线上直接写出直线CD与直线BE相交所成的锐角（用x的代数式表示）．答：直线CD与直线BE相交所成的锐角______________．

Answer

（1）详见解析；（2）垂直；（3）不成立；（4）180°-x°

【解析】

试题分析：(1)由证明，可得∠C=∠ABE，即可得证；

（2）同（1）；

（3）同（1）

（4）同上；

试题解析：（1）∵∠CAB=90°，∠DAE=90°，

∴∠CAD=∠BAE，

又∵AC=AB，AD=AE

∴

∴∠C=∠ABE，CD=BE

∵∠C+∠B=90°，

∴∠ABE+∠B=90°

∴CD⊥BE

(2)垂直；

(3)不成立，由（1）类似，我们可证得BC⊥BE,故CD不垂直BE；

(4)

如图，延长CD交BE于F，同（1）我们可证明，得∠ACD=∠ABE，

∴∠CFE=∠CBE+∠BCF

∵AB=AC，∠CAB=∠DAE＝x°

∴∠ABC=∠ACB=

∵∠CBE=∠ABC+∠ABE

∴∠CFE=2∠ABC=180°-x°

考点：全等三角形的判定