Question

探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=       °；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度数．

Answer

（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①40°；②90°；③70°．

【解析】

试题分析：（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．

②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

③由（2）的方法，进而可得答案．

（1）连接AD并延长至点F，

由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；

且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；

相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

又因为∠A=50°，∠BXC=90°，

所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

②由（1）的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；

而∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，

代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=77°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD=140°-x°

∴（140-x）+x=77，

14-x+x=77，

x=70

∴∠A为70°．

考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．