Question

小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是              ；

如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是             ；

如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是                ；

（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．

我选图      来证明．

Answer

（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）①根据题意知∠AME+∠ABC=180°，再利用角平分线的性质得∠AMF+∠ABD=90°,而∠AMF+∠AFM=90°,从而∠AFM=∠ABD，即BD∥MF；

②易证∠AME=∠ABC,由MF、BD分别是∠AME、∠ABC的平分线，可知∠AMF=∠ABD．而∠ABD+∠ADB=90°，所以∠AMF+∠ADB=90°，故BD⊥MF；

③方法同（2）；

(2)分析同（1）．

(1) BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；

(2) （1）BD∥MF

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，

∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，

又∵∠AFM+∠AMF=90°，

∴∠ABD=∠AFM，

∴BD∥MF；

（2）BD⊥MF．

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，

∴∠ABC=∠AME，

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠AMF，

∵∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠AMF+∠ADB=90°，

∴BD⊥MF；

（3）BD⊥MF．

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠AME，

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠AMF，

∵∠AMF+∠F=90°，

∴∠ABD+∠F=90°，

∴BD⊥MF

考点：1．平行线的判定；2．垂直的判定；3．四边形的内角和．