Question

已知：如图（1），△AOB和△COD都是等边三角形，连接AC、BD交与点P．

（1）求证：AC＝BD；

（2）求∠APB的度数；

（3）如图（2），将（1）中的△AOB和△COD改为等腰三角形，并且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD的等量关系为   ，∠APB的大小为   ．

Answer

（1） 见解析 （2） 60° （3） AC=BD，∠APB=α

【解析】

试题分析

（1）根据等边三角形性质得出AO=OB，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°，求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD即可；

（1）根据全等得出∠1=∠2，根据三角形内角和定理求出即可；

（3）求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，推出AC=BD，∠OCA=∠ODB，根据三角形内角和定理求出即可

试题解析：

（1）证明：∵△AOB和△COD都是等边三角形，

∴AO=OB，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°，

∴∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC=BD；

（2）【解析】
∵△ABO是等边三角形，

∴∠OAB=∠OBA=60°，

∴∠1+∠3=60°，

∵△AOC≌△BOD，

∴∠1=∠2，

∴∠APB=180°﹣（∠3+∠ABO+∠2）

=180°﹣（∠3+∠1+∠ABO）

=180°﹣（60°+60°）

=60°；

（3）【解析】
AC=BD，∠APB=α，

理由是：∵∠AOB=∠COD=α，

∴∠AOC=∠BOD=∠BOC+α，

在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC=BD，∠OCA=∠ODB，

∴∠APB=180°﹣（∠PDC+∠PCO+∠OCD）

=180°﹣（∠PDC+∠BDO+∠OCD）

=180°﹣（∠ODC+∠OCD）

=∠DOC

=α，

故答案为：AC=BD，∠APB=α．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质