Question

阅读下列材料：

一般地，n个相同的因数a相乘记为aⁿ，记为aⁿ．如2×2×2=2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．

（1）计算以下各对数的值：

log₂4= ，log₂16= ，log₂64= ．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式                                 。

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

log_aM+log_aN=          ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（4）根据幂的运算法则：aⁿ•a^m=a^n+m以及对数的含义证明上述结论．

Answer

（1）2，4，6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）loga（MN）；（4）证明见解析．

【解析】

试题分析：首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；

（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；

（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）；

（4）首先可设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．

试题解析：（1）log24=2，log216=4，log264=6；

（2）4×16=64，log24+log216=log264；

（3）logaM+logaN=loga（MN）；

（4）证明：设logaM=b1，logaN=b2，

则ab1=M，ab2=N，

∴MN=ab1•ab2=ab1+b2，

∴b1+b2=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．

考点：幂的乘方与积的乘方．