Question

在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点(不与A、B、C重合)，点P是平面内一动点。设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

(1)若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图(1)所示．

则∠1+∠2=              ．（用α的代数式表示）

(2)若点P在△ABC的外部，如图（2）所示．则∠α、∠1、∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．

(3)当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．（不需要证明）

Answer

（1）∠1+∠2=600+∠α；

（2）∠α=∠1-∠2+600，证明见解析；

（3）图形见解析．

【解析】

试题分析：（1）借助四边形内角和，以及∠AEP =1800-∠2，∠PDA=1800-∠1，进行计算即可；

（2）利用外角解决；

（3）仿照（2）进行计算即可．

（1）在四边形AEPD中，

∠A +∠AEP+∠α+∠PDA=3600，

∵∠A=600，∠AEP =1800-∠2，∠PDA=1800-∠1，

∴600+1800-∠2+∠α+1800-∠1=3600，

∠1+∠2=600+∠α；

（2）∠α=∠1-∠2+600

理由： 设AC与PE交于点F，

∵∠1为△PFD的外角，

∴∠1=∠α+∠PFD

∵∠2为△AEF的外角，

∴∠2=∠A+∠AFE

∵∠A=600，∠AFE=∠PFD

∴∠2=600 +∠PFD

∴∠1-∠2=∠α-600

∴∠α=∠1-∠2+600；

（3）如图（3）时：∠α=∠2-∠1-600

如图（4）时：∠α=∠1-∠2+600

．

考点：1．多边形内角和2．三角形的外角．