Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；

（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；

（3）如图②，连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？

（4）如图③，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？

Answer

（1）AE=t，AD=12-2t；（2）理由见解析；（3）3或；（4）4.

【解析】

试题分析：（1）根据题意直接表示出来即可；

（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形.

（3）①显然∠DFE＜90°；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；③当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值.

（4）如图③，若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD，则t=12-2t，所以t=4．即当t=4时，四边形AEA′D为菱形．

（1）AE=t，AD=12-2t.

（2）∵DF⊥BC，∠C=30°，∴DF=CD=×2t=t.

∵AE=t，∴DF=AE.

∵∠ABC=90°，DF⊥BC，∴DF∥AE.

∴四边形AEFD是平行四边形.

（3）①显然∠DFE＜90°.

②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，

此时 AE=AD，∴t＝ (12−2t).∴t=3.

③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°，

∴∠AED=90°-∠A=30°.∴AD=AE.∴12−2t＝t.∴t＝.

综上：当t=3秒或t＝秒时，△DEF为直角三角形.

（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD.

∴t=12-2t.∴t=4.

∴当t=4时，四边形AEA′D为菱形.

考点：1.双动点问题；2.矩形的性质；3.直角三角形的性质；4.菱形的性质；5.平行四边形的判定和性质；6.分类思想的应用．