Question

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）t=4；

（2）S=；

（3）存在，当t=4、或时，△PEF是等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，可以得出四边形AGHD为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出结论t的值；

（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；

（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分为三种情况：EF=EP时可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，可以求出t值．

试题解析：（1）如图2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，

∴四边形AGHD为矩形．

∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，

∴△ABG≌△DCH，

∴BG=（BC-AD）=3，AG=4，

∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，

∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，

∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；

（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，

∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，

∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，

∴NR=t，

∴S=；

如图3，当3＜t≤4时，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，BN=t+4，

∴NR=t+2，

∴S==2t+4；

如图4，当4＜t≤7时，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，

∴CN=3-（t-4）=7-t，

∴NR=，

∴S=；

如图5，当7＜t≤8时，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，

∴S=

∴S=；

（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，

∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，

∴cos∠ABC=cos∠PEF=，

由（1）可知EP=BP=t，

则EF=EQ=PQ-EP=4-t，

①如图6，当EF=EP时，4-t=t，

∴t=4；

②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，

∴ER=EP=EF，

∴t=（4-t)，

∴t=；

③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，

∵ES=EF=PE，

∴（4-t) =×t，

∴t=．

∴当t=4、或时，△PEF是等腰三角形．

考点：相似形综合题．