Question

在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE.

（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；

（2）求证：EF+EG=CE.

Answer

(1) ；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质可得∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，再根据同角的余角相等求出∠CBG=∠CDF，然后利用“角边角”证明△CBG和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=DF，再利用勾股定理列式计算即可得解；

（2）过点过点C作CM⊥CE交BE于点M，根据全等三角形对应边相等可得CG=CF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CGB，再利用同角的余角相等求出∠MCG=∠ECF，然后利用“角边角”证明△MCG和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得MG=EF，CM=CE，从而判断出△CME是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．

试题解析：（1）【解析】
∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，

∵BE⊥DF，

∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，

∴∠CBG=∠CDF，

在△CBG和△CDF中，

，

∴△CBG≌△CDF（ASA），

∴BG=DF=4，

∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，

∴CG=；

（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，

∵△CBG≌△CDF，

∴CG=CF，∠F=∠CGB，

∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90°，

∴∠MCG=∠ECF，

在△MCG和△ECF中，

，

∴△MCG≌△ECF（SAS），

∴MG=EF，CM=CE，

∴△CME是等腰直角三角形，

∴ME=CE，

又∵ME=MG+EG=EF+EG，

∴EF+EG=CE．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.等腰直角三角形．