Question

如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点

（1）求证：△ABE≌△DCE

（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．

（3）连接EF,当四边形EGFH是正方形时，线段EF与GH有什么数量关系？请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）是菱形．证明见解析；（3）EF⊥BC，且EF=BC．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰梯形的性质可得出∠A=∠D，结合题意AB=CD，点E是AD的中点，利用SAS即可判断全等．

（2）根据中位线定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，从而可判断出四边形EGFH的形状．

（3）连接EF，则根据等腰直角三角形斜边中线的性质可判断出EF与BC的关系．

试题解析：（1）证明：由题意可得ABCD是等腰梯形，

∴∠A=∠D，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE．

（2）四边形EGFH是菱形．

证明：∵GF、FH是△EBC的中位线，且由（1）得EB=EC，

∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，

∴四边形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，且EF=BC．

证明：连接EF，

∵EFGH是正方形，

∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形

∴EF⊥BC，且EF=BC．

考点：1.等腰梯形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定；4.正方形的性质．