Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer

（1）详见解析；（2）△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）由正方形的判定，设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得四边形ADCE为正方形．

试题解析：（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠MAE=∠CAE，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

理由：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD=∠ACD=45°，

∴DC=AD，

∵四边形ADCE为矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

考点：矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定