Question

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

Answer

(1)证明见解析；（2）MP与NQ相等，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；

（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．

试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴AF=BE；

（2）【解析】
MP与NQ相等．

理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，

∴AF=PM，BE=NQ，

∴在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴AF=BE；

∴MP=NQ．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．