Question

已知边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，

（1）如图1，若AE⊥BF，求证：EA=FB；

（2）如图2，若∠EAF=, AE的长为，试求AF的长度。

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，进而得到∠BAE=∠CBF，则△ABE≌△BCF，进一步根据全等三角形的性质进行证明；

（2）延长CB至点G，使BG=DF，并连接AG和EF，先证△ABG≌△ADF（SAS），再证△AEG≌△AEF（SAS）；在RT△ABE中，根据勾股定理可求得BE=，设线段DF长为x，则EF=GE=x+，又CE=1-=，CF=1-x，最终在RT△ECF中，利用勾股定理得(+x)2＝+(1−x)2，求得x=，在Rt△ADF中，解得AF＝.

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，

∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF；

（2）延长CB至点G，使BG=DF,并连接AG和EF,先证⊿ABG≌⊿ADF（SAS），再证⊿AEG≌⊿AEF（SAS）；在RT⊿ABE中，根据勾股定理可求得BE=,设线段DF长为x,则EF=GE=x+，又CE=1-=,CF=1－x，最终在RT⊿ECF中，利用勾股定理得，求得x＝，在中，解得

考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理．