Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q为AB边及BC边上的两个动点。（1）若点P从点A沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两个点同时出发。

①经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²；

②是否存在这样的时刻，使△PBQ的面积等于10 cm²？如果存在请求出来，如果不存在，请说明理由。

（2）假设点P、Q可以分别在AB、BC边上任意移动，是否存在PQ同时平分△ABC的周长和面积的情况？如果存在请求出BP的长度；如果不存在，请说明理由。

Answer

（1）2秒或4秒；（2）不存在，理由见解析；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；

（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．

试题解析：（1）①设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：

BP=6-x，BQ=2x，

所以S△PBQ=×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，

可得：x=2或4，

即经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2．

②设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，S△PBQ=×（6-y）×2y=10，

即y2-6y+10=0，

因为△=b2-4ac=36-4×10=-4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．

（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的周长和面积，△PBQ的周长和面积等于12cm2，S△PBQ=×（6-y）×2y=12，

即y2-6y+12=0，

因为△=b2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分△ABC的面积．

考点：1.一元二次方程的应用；2.勾股定理．